第三次段考數學解析

 

一、選擇題（每題 3 分，共 30 分）

1. 答案：(C)

• 解析：
• (A) 6^2 = 36，(-6)^2 = 36，兩者相等。（正確）
• (B) 11/3 > 1，假分數次方越大值越大。（正確）
• (C) (-3/11)^4 為正數，與 (3/11)^4 相等，並非小於。（錯誤）
• (D) 7/8 < 1，真分數次方越大值越小。（正確）

2. 答案：(B)

• 解析：
• 互為相反數相加為 0。
• (3x - 1) + (x + 29) = 0
• 4x + 28 = 0 => 4x = -28 => x = -7

3. 答案：(B)

• 解析：
• (-5/6)^2 = 25/36 (正數，最大)
• (-5/6)^3 = -125/216 (負數)
• -(5/6)^2 = -25/36 = -150/216 (負數，最小)
• 故順序為：(-5/6)^2 > (-5/6)^3 > -(5/6)^2

4. 答案：(A)

• 解析：
• 正三角形周長 = 3a。正方形周長亦為 3a。
• 正方形邊長 = 3a ÷ 4 = (3/4)a。

5. 答案：(C)

• 解析：
• 新數的十位數為 x，個位數為 5。
• 數值表示為：10x + 5 (即 5 + 10x)。

6. 答案：(D)

• 解析：
• 父 = (7/2) × 子 + 5
• x = (7/2) × 子 + 5
• x - 5 = (7/2) × 子
• 子 = (x - 5) × (2/7) = (2/7)(x - 5)

7. 答案：(D)

• 解析：
• 將 x = -1 代入選項檢驗。
• (D) (-1/2) × (-1) = 1/2，等號右邊亦為 1/2，成立。

8. 答案：(A)

• 解析：
• 大數 x，兩數差 10，則小數為 (x - 10)。
• 題目：大數 = 3 × 小數 - 4
• 方程式：x = 3(x - 10) - 4

9. 答案：(D)

• 解析：
• 原式 = ( (5^2) / (2^3) )^3 × ( (2^2) / 5 )^4
• = ( 5^6 / 2^9 ) × ( 2^8 / 5^4 )
• = 5^(6-4) × 2^(8-9) = 5^2 × 2^(-1) = 25/2
• 故 a = 25，b = 2。
• b - a = 2 - 25 = -23。

10. 答案：(B)

• 解析：
• 未作答 8 題，實際作答 42 題。設答對 x 題，錯 (42 - x) 題。
• 2x - 1(42 - x) = 75
• 3x - 42 = 75 => 3x = 117 => x = 39。

---

二、填充題（第 1-10 題每題 3 分，第 11-15 題每題 4 分，共 50 分）

1. 答案：11
• 解析：(0.7)^3 × (0.7)^8 = (0.7)^(3+8) = (0.7)^11。
2. 答案：(-1/3)^2 > (-1/3)^4 > (-1/3)^5 > (-1/3)^3
• 解析：先比正數 (偶次方)，再比負數 (奇次方)。
3. 答案：1
• 解析：代入 x=2，得 (2/3)×3 - (1/2)×2 = 2 - 1 = 1。
4. 答案：-27/64
• 解析：(-4/3)^3 = -64/27，其倒數為 -27/64。
5. 答案：8x - 10
• 解析：18x - 24 + 14 - 10x = 8x - 10。
6. 答案：20a - 3
• 解析：總價 = 8a + 3(4a - 1) = 8a + 12a - 3 = 20a - 3。
7. 答案：15
• 解析：同乘 15 得 5x - 3x = 30，2x = 30，x = 15。
8. 答案：1
• 解析：先解方程式 4(x-1)=ax+2 的解 x=2，代入得 4(1) = 2a + 2，故 2a=2，a=1。
9. 答案：5
• 解析：指數律運算，((4/5)^4)^3 ÷ (4/5)^7 = (4/5)^12 ÷ (4/5)^7 = (4/5)^5。
10. 答案：2x - 7
• 解析：長 = 3x - 7。長比寬多 (3x - 7) - x = 2x - 7。
11. 答案：-299
• 解析：通分母為 900。5/900 - 2/900 = 3/900 = 1/300。
• n=1，m=300，n - m = -299。
12. 答案：(1/2)x
• 解析：原式 = x + (3/4)x - (5/4)x = x - (2/4)x = (1/2)x。
13. 答案：-6
• 解析：(25/4) - (49/4) = -24/4 = -6。
14. 答案：21
• 解析：設總數 x。逆推或列式。
• 第一次剩 (1/2)x - 3。第二次賣出後剩 (1/3)[(1/2)x - 3] - 1 = (1/6)x - 2。
• 題目說最後剩 (1/9)x。
• (1/6)x - 2 = (1/9)x => 同乘 18 => 3x - 36 = 2x => x = 36。
• 第一次賣出：(1/2)×36 + 3 = 21。
15. 答案：1430
• 解析：設定價 P。0.75P + 80 = 成本 = 0.8P - 10。
• 0.05P = 90 => P = 1800。
• 成本 = 0.8 × 1800 - 10 = 1430 元。

---

三、計算應用題（每題 5 分，共 20 分）

1. 答案：0.78 倍

• 解： 甲產量：9.1 × 10^4 × 6 = 54.6 × 10^4 = 5.46 × 10^5 乙產量：1.4 × 10^5 × 5 = 7.0 × 10^5 倍數：(5.46 × 10^5) ÷ (7.0 × 10^5) = 5.46 ÷ 7 = 0.78

2. (1) 答案：3/2 (或 1.5)

• 解： 原式 = 25 ÷ (25/4) × (5/8) - 1 = 25 × (4/25) × (5/8) - 1 = 4 × (5/8) - 1 = 5/2 - 1 = 3/2

2. (2) 答案：a = 5

• 解： 將 x=1 代入： (3-1)/2 + (1+a)/3 = (5+1)/2 1 + (1+a)/3 = 3 (1+a)/3 = 2 => 1+a = 6 => a = 5

3. (1) 答案：30 人 3. (2) 答案：7/8 倍

• 解： (1) 設全班 x 人。男生 (1/2)x + 1，女生 (1/3)x + 4。 (1/2)x + 1 + (1/3)x + 4 = x 同乘 6：3x + 6 + 2x + 24 = 6x => 5x + 30 = 6x => x = 30 (人) (2) 女生 = 10 + 4 = 14，男生 = 15 + 1 = 16。 14 ÷ 16 = 7/8

4. (1) 答案：26 個帳篷 4. (2) 答案：175 人

• 解： (1) 設帳篷 x 個。 學生數方程式：6x + 19 = 7(x - 1) 6x + 19 = 7x - 7 x = 26 (個) (2) 學生數：6 × 26 + 19 = 156 + 19 = 175 (人)