第二次段考七年級數學科詳解
一、是非題
答案：×
解析： 質數中只有 2 是偶數，其餘皆為奇數。
答案：〇
解析： 兩個不同的質數，其公因數只有 1，故必互質。
答案：〇
解析： 若 a、b 兩數互質，則最大公因數 (a, b) = 1，最小公倍數 [a, b] = a × b。
答案：×
解析： 6 雖是公因數，但最大公因數 (36, 48) = 12。
答案：×
解析： 0 沒有倒數（分母不能為 0）。
二、選擇題
答案：(B)
解析： -3又3/4 = -(3 + 3/4) = -3 - 3/4。選項 (B) 寫成 -3 + 3/4 是錯誤的。
答案：(D)
解析： 判斷 4 的倍數看末兩位數字。
104 (末兩位 04，是)
594 (末兩位 94，否)
4851 (奇數，否)
28160 (末兩位 60，是)
2766602 (末兩位 02，否)
共 2 個。
答案：(B)
解析：
2 的倍數：個位數為 0, 2, 4, 6, 8。
除以 5 餘 1：個位數為 1 或 6。
同時符合者，個位數（□）必為 6。
答案：(C)
解析：
228 = 2^2 × 3 × 19
90 = 2 × 3^2 × 5
最大公因數 = 2 × 3 = 6。
6 的正因數有 1, 2, 3, 6，共 4 個。
答案：(A)
解析：
(A) 3又2/5 = 17/5，其倒數為 5/17。正確。
(B) 負數的倒數仍為負數。
(C) 91 = 7 × 13，不互質。
(D) 87 = 3 × 29，不互質。
答案：(C)
解析： 離原點最遠即「絕對值最大」。
(A) |-2/5| = 0.4
(B) |-3/8| = 0.375
(C) |-3/2| = 1.5 (最大)
(D) |-6/5| = 1.2
答案：(D)
解析： 要成為倍數，因數的指數不能大於原數。3^a 須為 3^5 的因數，故 a 最大可為 5。
答案：(D)
解析： 「80 * c = 3」表示 80 到 c 之間有 3 個質數。
大於 80 的質數依序為：83, 89, 97, 101...
第 1 個是 83，第 2 個是 89，第 3 個是 97。
要剛好包含到 97 但不包含到 101，所以 c 的範圍是 97 < c ≤ 101。
選項中只有 99 符合。
答案：(B)
解析： 求最大公因數 (84, 126, 70)。
三數皆可被 14 整除。
84 = 14 × 6
126 = 14 × 9
70 = 14 × 5
故最大公因數為 14 盒。
答案：(A)
解析：
1800 = 18 × 100 = (2 × 3^2) × (2^2 × 5^2) = 2^3 × 3^2 × 5^2。
對照題目 2^a × b^2 × c^d。
a = 3（2 的指數）。
b^2 對應 3^2（因為 b 要小於 c，所以 b=3，c=5）。
所以 b = 3。
剩下 c^d = 5^2，故 c = 5, d = 2。
密碼 abcd = 3352。
答案：(C)
解析：
2 和 3 的公倍數 = 6 的倍數。
範圍 210~240 內 6 的倍數有：216, 222, 228, 234。
條件：除以 5 餘 3 → 個位數為 3 或 8。
符合者為 228。
228 ÷ 7 = 32 ... 餘 4。
答案：(A)
解析：
154 = 2 × 7 × 11。
最大公因數要剛好是 14 = 2 × 7。
代表該數要有因數 2 和 7，但「不能有 11」。
(A) 有 2, 7，無 11。符合。
(B) 有 11，不合。
(C) 有 11，不合。
(D) 有 11，不合。
三、填充題
答案：-21
解析： -5/7 = (-5 × -3) / (7 × -3) = 15/-21。
答案：2
解析： 最小的質數是 2。
答案：17
解析： 70 的因數分解組合：1×70, 2×35, 5×14, 7×10。其中和最小為 7+10=17。
答案：62
解析：
因數個數是奇數（共 7 個），表示 N 是完全平方數。
正中間的因數是 8，故 N = 8^2 = 64。
因數由小排到大：1, 2, 4, 8, 16, 32, 64。
a 是第 2 個因數，故 a = 2。
N - a = 64 - 2 = 62。
答案：7
解析： 標準分解式含 3^2=9，表示數字和為 9 的倍數。
1+7+4+□+2+1+5 = 20+□。
最接近的 9 的倍數是 27，故 □ = 7。
答案：3/7
解析：
原式 = 12 × (1/4) × (3/13) - 4 × (6/91)
= 9/13 - 24/91
通分：(63/91) - (24/91) = 39/91 = 3/7。
答案：13/4
解析：
算式： (-3/2) ÷ 3/2 × (-13/4)
解析步驟：
先由左至右計算除法：將除法改為乘以倒數。 = (-3/2) × (2/3) × (-13/4)
計算前兩項： = -1 × (-13/4)
計算最後結果：負負得正。 = 13/4 (或 3又1/4)
答案：5 × 7 × 13
解析： 找兩數標準分解式中，共同質因數的最小次方。
答案：180
解析： (24, 36) = 12；[45, 12] = 180。
答案：48
解析： 分配律提公因數：(52+38) × 8/15 = 90 × 8/15 = 6 × 8 = 48。
答案：-1/2
解析： -7/8 + 3/8 = -4/8 = -1/2。
答案：2^2 × 3 × 7 × 11
解析： 924 = 4 × 231 = 2^2 × 3 × 77 = 2^2 × 3 × 7 × 11。
答案：3又3/4
解析：
觀察圖形分割，共塗色 9 塊。
總格數 21 塊。塗色比例為 9/21 = 3/7。
總面積 8又3/4 = 35/4。
塗色面積 = (35/4) × (3/7) = 15/4=3又3/4
。
答案：358
解析：
由「排6餘4」可知該數為偶數。
由「排5餘3」可知個位數為 3 或 8。綜合偶數條件，個位數必為 8。
在 340~370 之間，個位數為 8 的有：348, 358, 368。
檢驗「除以 6 餘 4」：
348 ÷ 6 = 58 ... 0 (不合)
358 ÷ 6 = 59 ... 4 (符合)
368 ÷ 6 = 61 ... 2 (不合)
四、計算題
答案：丙 > 甲 > 乙
解析：
甲 = 3又2/9 (約 3.22)
乙 = 2/9 × 4 = 8/9 (小於 1)
丙 = 3 ÷ (2/9) = 3 × (9/2) = 27/2 = 13.5
故 丙 > 甲 > 乙。
答案：420
解析：
設此數為「4△□」。
因為是 4 和 5 的倍數，所以個位數（□）必須是 0。
題目要求「相異數字」，目前有 4 和 0。
因為要是 4 的倍數，末兩位數「△0」必須能被 4 整除，所以十位數（△）必須是偶數（2、4、6、8）。
因為數字要相異，不能是 4，所以 △ 可能是 2、6、8。
因為要是 3 的倍數，數字總和（4 + △ + 0）必須是 3 的倍數：
若 △ = 2，和為 6 （符合）。
若 △ = 6，和為 10 （不合）。
若 △ = 8，和為 12 （符合）。
可能的數值有 420 和 480。
題目求「最小的值」，故答案為 420。
答案：(1) 11/2 (或 5.5)；(2) 3/2 (或 1.5)
解析：
(1) 線段 AB = |B - A| = |-1/3 - (-5又5/6)| = |-2/6 + 35/6| = 33/6 = 11/2。
(2) 線段 AB = 3 倍線段 BC → 線段 BC = 11/2 ÷ 3 = 11/6。
從圖上看，C 在 B 的右邊。
C 點座標 = B + 線段 BC = -1/3 + 11/6 = -2/6 + 11/6 = 9/6 = 3/2。
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