國一數學【2-1 質因數分解】觀念打底 + 計算全攻略
國一數學【2-1 質因數分解】觀念打底 + 計算全攻略
哈囉！看到「質因數分解」這幾個字先不要怕，它一點都不可怕。
【觀念大挑戰】
你以前可能覺得數學就是「把數字算出來」。 但從這一章開始，你要學的是「把數字拆開來」！
想像一下，數字就像樂高積木，「質因數分解」就是把一個大積木，拆解成一堆最小、最基本的「質數積木」。
第一關：誰是「因數」？誰是「倍數」？
這關是基本功，我們要分清楚這兩個好兄弟。
- 【簡單比喻：分餅乾】
- 你有 12 片餅乾，想「剛好分完」給小朋友。
- 分給 3 個人，每人拿 4 片 (12 ÷ 3
= 4)
- 分給 4 個人，每人拿 3 片 (12 ÷ 4
= 3)
- 12 可以被 3 和 4 整除 (分得剛剛好，沒有剩下)。
- 【結論】
- 我們說 3 和 4 是 12 的「因數」(幫忙分的)。
- 我們說 12 是 3 和 4 的「倍數」(被分的)。
✏️ 計算技巧：如何找出一個數字「全部」的因數？
目標： 找出 18 的所有因數。
方法： 用「因數情侶配對」法，從 1
開始找，才不會漏掉！
- 從 1 開始： 1
× 18 (找到 1 和 18)
- 試試 2： 2 ×
9 (找到 2 和 9)
- 試試 3： 3 ×
6 (找到 3 和 6)
- 試試 4： (不行，18 不能被 4 整除)
- 試試 5： (不行)
- 試試 6： 咦？6 剛剛在「3 × 6」中出現過了！
- 【停！】 當你找到重複的數字，就表示全部找完了！
答案： 把找到的數字由小到大寫出來：1, 2,
3, 6, 9, 18。
第二關：誰是「質數」？誰是「合數」？
這關是幫數字分類。
- 【簡單比喻：孤獨指數】
- 質數 (Prime
Number)：
超級孤獨的數字。
- 它大於 1，而且除了
1 和「它自己」以外，沒有任何其他因數。
- 例子： 2,
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...
- (像 17，你只能寫出
1 × 17，沒別的了)
- 合數
(Composite Number)：
朋友很多的數字。
- 它大於 1，而且除了
1 和「它自己」以外，還有別的因數。
- 例子： 4
(因數有 1, 2, 4)，6 (因數有 1, 2, 3, 6)
- 【兩個超級重點】
1.
1 是什麼？ 1 不是質數，也不是合數。 (他是最特別的，自成一格)
2.
2 是什麼？ 2 是最小的質數，也是唯一的「偶數」質數。
第三關：什麼是「質因數」？
這關是把第一關和第二關合體！
- 意思： 一個數字的「因數」中，剛好也是「質數」的，就叫「質因數」。
- 【簡單比喻：選朋友】
- 目標： 找出 20 的「質因數」。
- 步驟 1 (找全部因數)： 20 的所有因數有：1,
2, 4, 5, 10, 20。
- 步驟 2 (挑出質數)： 看看上面這些數字，誰是「質數」？
- 1 (不是)
- 2 (是質數！)
- 4 (是合數)
- 5 (是質數！)
- 10 (是合數)
- 20 (是合數)
- 答案： 20
的質因數就是
2 和
5。
第四關：【計算大魔王】如何做「質因數分解」？
這就是本章節最重要的計算！我們要來拆解積木了。
目標： 把 36 拆解成「全部都是質數」的乘法。 方法： 短除法 (L型除法)
【計算步驟】 (跟著我一步一步做)
- 寫下 36，畫一個 L。
- 問自己：「最小的質數 2，可不可以整除 36？」
- (可以，因為 36 是偶數)
- 計算： 36
÷ 2 = 18。把 2 寫在左邊，18 寫在下面。
- 2 | 36
- ----
- 18
- 看著 18，重複動作。 問：「2 可不可以整除 18？」
- (可以)
- 計算： 18
÷ 2 = 9。把 2 寫左邊，9 寫下面。
- 2 | 36
- ----
- 2 | 18
- ----
- 9
- 看著 9，重複動作。 問：「2 可不可以整除 9？」
- (不行)
- 改問下一個質數：「3 可不可以整除 9？」
- (可以)
- 計算： 9
÷ 3 = 3。把 3 寫左邊，3 寫下面。
- 2 | 36
- ----
- 2 | 18
- ----
- 3 | 9
- ----
- 3
- 看著 3。 問：「3 可不可以整除 3？」
- (可以)
- 計算： 3
÷ 3 = 1。把 3 寫左邊，1 寫下面。
- 2 | 36
- ----
- 2 | 18
- ----
- 3 | 9
- ----
- 3 | 3
- ----
- 1
- 【停！】 看到 1 就表示拆解完畢！
答案： 把左邊所有的「質數」乘起來。 36 = 2
× 2 × 3 × 3
第五關：「標準分解式」是什麼？
意思： 就是把第四關的答案，寫成「更漂亮」的樣子。
- 方法： 用「次方」(指數) 來表示。
- 【計算步驟】
- 上題答案： 36 = 2 × 2 × 3 × 3
- 問自己： 總共有幾個 2？ (2 個) -> 寫成 2²
- 問自己： 總共有幾個 3？ (2 個) -> 寫成 3²
- 規則： 數字由小(質數2)寫到大(質數3)。
- 答案： 36
的標準分解式就是
2² × 3²。
- 【再練一題：540】
- 用「短除法」：2
| 540 -> 2 | 270 -> 3 | 135 -> 3 | 45 -> 3 | 15 -> 5 | 5
-> 1 (停)
- 拆解結果： 540 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5
- 標準分解式： 540 = 2² × 3³ × 5
最終關：提升計算速度的【加速秘笈】 (倍數判別法)
你在做「短除法」的時候，是不是很慢？不知道要用 2、3、還是 5 來除？ 背下這幾個秘訣，你會快非常多！
1. 「看尾巴」
- 2 的倍數：
尾巴是 0, 2, 4, 6, 8。 (例如 540 -> 尾巴是 0 -> 馬上用 2 除)
- 5 的倍數：
尾巴是 0 或 5。 (例如 135 -> 尾巴是 5 -> 馬上用 5 除)
- 4 的倍數：
看「最後 2 位」。 (例如 324
-> 看 24。24 可以被 4 整除，所以
324 就可以)
2. 「加起來」
- 3 的倍數：
把所有數字加起來，如果是 3 的倍數，就可以了。
- (例如 135 -> 1 + 3 + 5 = 9。9 是 3 的倍數，所以
135 就可以用 3 除)
- 9 的倍數：
把所有數字加起來，如果是 9 的倍數，就可以了。
- (例如 7893 -> 7 + 8 + 9 + 3 = 27。27 是 9 的倍數，所以 7893
就可以用 9 除)
3. 「奇偶PK」 (11 的倍數)
- 把「奇數位」加起來，再把「偶數位」加起來，然後兩個相減。
- 如果答案是 0 或是 11 的倍數，就是 11 的倍數。
- (例如 1936)
- 奇數位 (第1, 3位)：1 + 3 =
4
- 偶數位 (第2, 4位)：9 + 6 =
15
- 相減：15 - 4
= 11 -> 是 11 的倍數！
【總結】 數學就是玩積木。這章的計算重點只有一個：練熟「短除法」！ 加油！
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