國一數學【2-2 公因數與公倍數】計算武功秘笈
這份講義是國中數學第二章「公因數與公倍數」，這是上一章「質因數分解」的應用。
如果學生的程度不好，用「標準分解式」（就是 $2^3 \times 3^2 \times 5$ 那種）去算最大公因數和最小公倍數，他們會非常痛苦而且很容易算錯。
我們要教他們一個絕對不會錯、最穩健的方法，就是「短除法」。
國一數學【2-2 公因數與公倍數】計算武功秘笈
哈囉！我們這章要學兩個新朋友：「最大公因數」和「最小公倍數」。
- 公因數 (GCD)： 是把大東西「分」成小塊。 (例如：把大張的紙，分成很多個小正方形)
- 公倍數 (LCM)： 是把小東西「拼」成一個大東西。 (例如：把小張的磁磚，拼成一個大正方形)
他們兩個的計算方法超級像，所以學生才會搞混。
第一關：最大公因數 (GCD) - 「大家一起分」
【口訣】：只看左邊，除到「互質」就停！
「最大公因數」就是找到一個最大的數字，可以同時整除所有的數字。
✏️ 計算步驟 (短除法)
目標： 找出 36 和 30 的最大公因數。 ( 符號：(36, 30) )
- 畫 L 型： 把 36 和 30 寫好，畫一個 L。
- 找「共同」的質數： 36 和 30 都是偶數，一定可以被
2 整除。
- 2 | 36 30
- --------
- 18 15
- 看新的數字 18 和 15：
- 18 可以被 2 除，但 15 不行。 (所以 2 不行了)
- 18 和 15 都可以被
3 整除。
- 2 | 36 30
- --------
- 3 | 18 15
- --------
- 6 5
- 看新的數字 6 和 5：
- 6 和 5 除了 1 以外，還有「共同」的因數嗎？
- (沒有了！6 和 5 已經「互質」了)
- 【停！】 只要下面的數字「互質」，找最大公因數的計算就停止了。
- 算答案：
- 把「左邊」的數字乘起來。
- 2 × 3 = 6
答案： (36, 30) = 6。 (代表 6 是可以同時整除 36 和 30 的最大數字)
✏️ 三個數字的計算 (短除法)
目標： 找出 48、72、90 的最大公因數。
- 畫 L 型，用 2 除：
- 2 | 48 72
90
- ----------
- 24 36
45
- 看 24, 36,
45：
- 24 和 36 可以被 2 除，但 45 不行。
- 24, 36, 45 全部都可以被 3 除。
- 2 | 48 72
90
- ----------
- 3 | 24 36
45
- ----------
- 8 12
15
- 看 8, 12,
15：
- 8 和 12 可以被 2 或 4 除。
- 12 和 15 可以被 3 除。
- 但是！ 8、12、15 沒有「共同」的因數了 (除了 1 以外)。
- 【停！】
(因為 8 和 15 互質，15 和 8 互質... 只要找不到「全部」的共同因數，就停)
- 算答案：
- 把「左邊」的數字乘起來。
- 2 × 3 = 6
答案： (48, 72, 90) = 6。
第二關：最小公倍數 (LCM) - 「大家一起排隊」
【口訣】：L 型全乘，除到「任兩位」互質！
「最小公倍數」就是找到一個最小的數字，它可以同時被所有的數字整除。
✏️ 計算步驟 (短除法)
目標： 找出 6 和 4 的最小公倍數。 ( 符號：[6, 4] )
- 畫 L 型，用 2 除：
- 2 | 6 4
- ------
- 3 2
- 看 3 和 2：
- 3 和 2 已經「互質」了。
- 【停！】
- 算答案：
- 把「L 型」(左邊和下面) 全部乘起來。
- 2 × 3 × 2 = 12
答案： [6, 4] = 12。 (12 是 6 和 4 共同的倍數中，最小的一個)
✏️ 三個數字的計算 (短除法) - 【最容易錯的地方！】
目標： 找出 24、18、45 的最小公倍數。
- 畫 L 型，用 3 除：
- 3 | 24 18
45
- ----------
- 8 6
15
- 看 8, 6, 15：
- 8 和 6 都是偶數，可以被
2 除。
- 6 和 15 可以被 3 除。
- 【注意！】 找最小公倍數時，只要「任兩個」可以除，就要繼續除！
- 我們先用 2 來除 8 和 6：
- 3 | 24 18
45
- ----------
- 2 | 8
6 15 <-- `15` 除不動，就「照抄」下來
- ----------
- 4 3
15
- 看 4, 3, 15：
- 3 和 15 可以被 3 除。
- 3 | 24 18
45
- ----------
- 2 | 8
6 15
- ----------
- 3 | 4
3 15 <-- `4` 除不動，就「照抄」下來
- ----------
- 4 1
5
- 看 4, 1, 5：
- 4 和 1 互質。
- 4 和 5 互質。
- 1 和 5 互質。
- (已經沒有「任兩個」可以除了)
- 【停！】
- 算答案：
- 把「L 型」(左邊和下面) 全部乘起來。
- 3 × 2 × 3 × 4 × 1 × 5 = 360
答案： [24, 18, 45] = 360。
【快速總結】一張圖搞懂「最大公因數」和「最小公倍數」
題目： 求 (180, 126) 和 [180, 126]
2 | 180 126 <-- 兩個都能除
---------
3 | 90 63
<-- 兩個都能除 (9+0=9, 6+3=9)
---------
3 | 30 21
<-- 兩個都能除
---------
10 7 <-- 10 和 7 互質了！【全部停止】
- 最大公因數
(GCD)：
- 只看左邊。
- 答案：2 × 3
× 3 = 18
- 最小公倍數
(LCM)：
- 看L型 (左邊 + 下面)。
- 答案：2 × 3
× 3 × 10 × 7 = 1260
【給學生的終極口訣】
- 最大公因數 (分東西)： 比較小氣，只拿左邊的。
- 最小公倍數 (拼東西)： 比較貪心，L 型全部都要。
什麼是「互質」？
【簡單說】：
兩個數字**「互質」**，意思就是... 「它們的最大公因數是 1」。
【白話文】：
它們兩個除了 1 以外，再也找不到「共同」的因數來分解它們了。
- 例子：
- 8 和 15
- 8 的因數：1, 2, 4, 8
- 15 的因數：1, 3, 5, 15
- 它們「共同」的因數只有 1。所以
8 和
15 互質。
- 15 和 24
- 15 的因數：1, 3, 5, 15
- 24 的因數：1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
- 它們「共同」的因數有 1 和 3。
- 因為他們有 1 以外的公因數 3，所以 15 和 24 不互質。
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