第三次段考數學解析
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一、選擇題解析
不等式列式：買 320 元的肉加上 x 斤 230 元的蝦子，總金額「不少於」（大於或等於）1320 元。
式子：320 + 230x >= 1320。
答案：(D)
整數個數：x > -4 且 x <= 3。
符合條件的整數為：-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3。
共 7 個。
答案：(C)
不等式檢驗：將 x = -6 代入選項：
(A) -6 - 6 = -12 >= 0 (錯誤)
(B) 2(-6) + 6 = -12 + 6 = -6 >= 10 (錯誤)
(C) -2(-6) = 12 < 6 (錯誤)
(D) 6(-6) + 10 = -36 + 10 = -26 <= -2 (正確)
答案：(D)
同時滿足：
3x - 4 >= 2 -> 3x >= 6 -> x >= 2
-4x + 9 > -3 -> -4x > -12 -> x < 3 （注意除以負數需變號）
範圍：2 <= x < 3。選項中只有 2 符合條件。
答案：(A)
不等式應用：原有 500 元，每月存 350 元，x 個月後需 >= 4750 元。
500 + 350x >= 4750 -> 350x >= 4250 -> x >= 12.14...
至少需存 13 個月。
答案：(C)
預算限制：鉛筆 x 枝，原子筆 (x+4) 枝。
8x + 15(x+4) <= 210 -> 8x + 15x + 60 <= 210 -> 23x <= 150 -> x <= 6.52...
最多可買 6 枝鉛筆。
答案：(D)
平均數修正：總和多算了 185 - 105 = 80。
平均數誤差為 80 / 40 = 2。
正確平均數為 109 - 2 = 107。
答案：(B)
中位數與眾數：總人數 22 人，每人投 6 次。
中位數 3.5 代表第 11 和 12 人的平均，落於 3 投與 4 投之間。
累積人數：1(0球) + 2(1球) + 3(2球) = 6人。
計算得知 a=5, b=4。眾數為出現次數最多的球數，即為 4 球。
答案：(B)
立體圖視圖：從右側觀察投影。
底層三行，中間高出左邊兩層。正確投影應為下方 3 個正方形，右上方再堆疊 2 個，最上層中間一個。
答案：(A)
這份考卷設計標準，涵蓋了國一學生對於不等式的基礎列式、解法與邏輯思維訓練。特別是第 8 題結合統計資料的處理，以及第 9 題的空間視圖，皆為檢測圖表分析能力的重要指標。
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10題目問的是正多邊形的對稱軸數量：
正三角形 (Equilateral Triangle)：是一個正 3 邊形。從每一個頂點出發，都可以畫出一條經過對邊中點的對稱軸。因此，正三角形有 a = 3 條對稱軸。
正六邊形 (Regular Hexagon)：是一個正 6 邊形。對稱軸包含「連接對角頂點的線段」以及「連接對邊中點的線段」。因此，正六邊形有 b = 6 條對稱軸。
計算過程： 根據題目定義：a = 3，b = 6。 計算 a + b：3 + 6 = 9。 因此，正確選項為 (C) 9。
重要觀念總結： 在學習幾何時，您可以記住一個規律：對於一個「正 n 邊形」，它一定會有 n 條對稱軸。
正三角形 (n=3) -> 3 條
正方形 (n=4) -> 4 條
正五邊形 (n=5) -> 5 條
正六邊形 (n=6) -> 6 條
二、填充題解析
平均數不等式：(78 + 72 + x) / 3 >= 80 -> 150 + x >= 240 -> x >= 90 答案：x >= 90
年齡不等式：7 年後媽媽 47 + 7 = 54 歲，小莉 x + 7 歲。54 <= 3(x + 7) 答案：54 <= 3(x + 7) (或 3x + 21 >= 54)
預算不等式：25x + 10 * 7 <= 230 -> 25x + 70 <= 230 答案：25x + 70 <= 230
存款應用：900 + 300x >= 7500 -> 300x >= 6600 -> x >= 22 答案：22
梯形面積：(11 + 17) * x / 2 <= 420 -> 14x <= 420 -> x <= 30 答案：x <= 30 (且 x > 0)
巴士分組：總人數 270 - 15 = 255 人。255 / 35 約等於 7.28。需無條件進位。 答案：8
統計指標：排序後得 26, 29, 33, 36, 36, 39, 41, 41, 41, 48, 56, 62。 中位數 a = (39 + 41) / 2 = 40；眾數 b = 41。a + b = 81。 答案：81
直方圖：總人數 = 4 + 10 + 8 + 6 = 28。5 到 25 分鐘區間人數為 10 + 8 = 18。百分比 = 18 / 28 約等於 64.29%。 答案：64.29% (或 45/7 %)
線對稱定義：不一定具備線對稱性質的是「平行四邊形」與「梯形」（除非是等腰梯形）。 答案：(A)(E) (註：視各校定義，菱形、長方形、正方形皆為線對稱圖形)
對稱軸距離：點到軸的距離為對稱點距離的一半。37 / 2 = 18.5。 答案：18.5
代入不等式：a(-3) + 1 >= 5(-3) - 5 -> -3a + 1 >= -20 -> -3a >= -21 -> a <= 7 答案：a <= 7
質數解：3x < 34 -> x < 11.33。質數有 2, 3, 5, 7, 11，共 5 個。 答案：5
成本獲利：定價 1.22 * 成本。獲利條件：(售價 - 成本) >= 0.08 * 成本。 設成本為 C，售價為 1.22C - 882。 (1.22C - 882) - C >= 0.08C -> 0.22C - 882 >= 0.08C -> 0.14C >= 882 -> C >= 6300 答案：6300
加權平均：總人數 40，則 x = 40 - (4 + 16 + 9 + 5) = 6。 平均 = (10 * 4 + 30 * 6 + 50 * 16 + 70 * 9 + 90 * 5) / 40 = 2000 / 40 = 50。 答案：50
對稱軸數量：等腰三角形 a = 1，正八邊形 b = 8。3(1) - 2(8) = 3 - 16 = -13。 答案：-13
三、計算應用題解析
不等式應用（成本與獲利） 題意分析：定價 2800 元，成本為 x 元。打 75 折會賠錢，打 85 折會賺錢。 解題步驟：
75 折售價：2800 * 0.75 = 2100 元。賠錢代表售價小於成本：2100 < x。
85 折售價：2800 * 0.85 = 2380 元。賺錢代表售價大於成本：2380 > x。 答案：2100 < x < 2380
奧林匹亞競賽（得分計算） 題意分析：共 50 題，對 1 題得 2 分，錯 1 題扣 1 分，需至少 60 分。 解題步驟：
設答對 y 題，則答錯 (50-y) 題。
得分不等式：2y - 1 * (50-y) >= 60。
2y - 50 + y >= 60 -> 3y >= 110 -> y >= 36.66...
題目需為整數，故至少要答對 37 題。 答案：37 題
統計指標（算術平均、中位數、眾數） 題意分析：五科總分 = 85 * 5 = 425 分。五科分數由小到大為 a1, a2, a3, a4, a5。 解題步驟：
最低分 a1 = 79；中位數 a3 = 87；眾數 89。
因為有眾數且大於中位數，且五科總分需固定，可推知 a4 = a5 = 89。
79 + a2 + 87 + 89 + 89 = 425。
a2 = 425 - 344 = 81。 答案：81 分
立體模型（表面積計算） 題意分析：9 個小正方體堆疊，邊長 2 公分。表面積 = 每個面面積 * 總裸露面數。 解題步驟：
小正方體單面面積 = 2 * 2 = 4 平方公分。
計算每個方向可見的面數：
前視圖有 6 個面，後視圖亦有 6 個面。
上視圖有 5 個面，下視圖亦有 5 個面。
左視圖有 4 個面，右視圖亦有 4 個面。
總面數 = 6 + 6 + 5 + 5 + 4 + 4 = 30 面。
總表面積 = 30 * 4 = 120 平方公分。 答案：120 平方公分
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