4-1一元一次不等式及其解

 

一元一次不等式及其解

各位同學，大家好！今天我們要一起來挑戰一個聽起來有點厲害，但其實超貼近我們生活的新武器——「一元一次不等式」！別被它的名字嚇到了，其實我們天天都在用它。準備好你的數學超能力，我們出發吧！

🎒 什麼是「不等式」？（生活中的潛規則）

以前我們學過「等式」，就像玩蹺蹺板兩邊一樣重，中間放個「等號（=）」。但生活哪有這麼剛好？去遊樂園玩、去超商買東西，更多時候是「不平」的！

想像一下，你去遊樂園玩，看到熱門遊樂設施門口貼著一張身高限制圖：

• 「身高 140 公分以上（含）可以搭乘所有設施。」 如果你的身高是 x 公分，這句話用數學符號寫出來，就是 x > 140（大於）或 x = 140（等於）。科學家很懶，決定把它們合體，寫成：x ≥ 140（讀作：大於或等於）。

• 「身高 120 公分以上（含），而且未滿 130 公分，只能玩 8 項喔！」 「未滿」就是不包含 130（比 130 小），所以我們可以把這段神祕的身高區間合併簡記為：120 ≤ x < 130。

像這種住在式子裡、含有 >、<、≥、≤ 的式子，就叫做「不等式」！

🛒 實戰任務：把生活情境翻譯成數學密碼！

我們常常在講話，但如果要把它翻譯成「一元一次不等式」（只有一種未知數，而且最高次方是一次方），要怎麼做呢？

【任務一】抓包！阿華的奇異果傳說

情境：阿華拿 100 元去超市買了 8 顆奇異果（每顆 x 元），結帳時逼逼一聲，店員說：「同學，這樣超過 100 元囉！」

翻譯密碼：每顆 x 元，買 8 顆總共就是 8x 元。講話關鍵字是「超過」（也就是大於，不含 100 元喔！）。

不等式密碼：8x > 100

【任務二】血拼！網購手機的預算大作戰

情境：雙 11 到了，施宇想買定價 x 元的手機。活動當天全館打 9 折，他手裡還有一張打折後可以再折 500 元的折價券。如果他的預算只有 6000 元，他買得起哪支手機？

翻譯密碼：定價 x 元打 9 折 → 0.9x 元。折價券再減 500 元 → 0.9x - 500 元。預算只有 6000 元，代表折扣後的金額不能超過（小於或等於） 6000 元。

不等式密碼：0.9x - 500 ≤ 6000

🎯 尋找神祕的「解」：誰能讓不等式成立？

在方程式裡，答案通常只有一個（例如 2x = 6，x 就只能是 3）。但在「不等式」的世界裡，答案通常是一整群人！

問題：請問 x = 2、4、6 這三個數字，誰是不等式 3x + 2 ≤ 14 的合法答案（解）？

我們來玩代入抽獎遊戲：

1. 當 x = 2 時：把 2 代進去 → 3 × 2 + 2 = 8。請問 8 有沒有 ≤ 14？有！恭喜中獎！🎉

2. 當 x = 4 時：把 4 代進去 → 3 × 4 + 2 = 14。請問 14 有沒有 ≤ 14？（有等於喔！）有！恭喜中獎！🎉

3. 當 x = 6 時：把 6 代進去 → 3 × 6 + 2 = 20。請問 20 有ない ≤ 14？想得美！槓龜！❌

所以，x = 2 和 x = 4 都是這個不等式的解。你看，答案不只一個吧！

🎨 畫圖大師：把答案畫在數線上！

既然答案是一整群人，我們不可能把每個數字都寫出來（光是 2 到 3 之間就有 2.2、2.5、2.8...等無限多個數字）。這時候，畫在數線上最清楚了！

畫圖有兩個超級大重點，記好這個口訣，你就是大師：

💡 空心沒包含，實心有包含；大於往右畫，小於往左拉！

• 空心圓圈「°」：代表「不包含」這個邊界點（用在 >、<）。

• 實心圓圈「•」：代表「包含」這個邊界點（用在 ≥、≤）。

範例演練：

• 如果你想畫 x > -1：在 -1 的地方點一個空心圓圈（因為沒有等於），然後因為是「大於」，開心地往右邊畫一條粗粗的線。

• 如果你想畫 -3 ≤ x ≤ 1（被夾在中間）：在 -3 和 1 的地方都點上實心圓圈（因為都有等於），然後把這兩個點中間的線段塗滿。代表這段區間裡的所有數字（包含 -3 和 1）全都是正確答案！

🛠️ 今日大考驗

最後，老師考考你：

如果國道高速公路某路段速限標誌寫著：最高時速 110 公里，最低時速 60 公里。假設行車速度是 x 公里，下列哪一個才是正確的數學表示法？

(A) 60 < x < 110

(B) 60 ≤ x < 110

(C) 60 < x ≤ 110

(D) 60 ≤ x ≤ 110

想一想，「時速 60」和「時速 110」可不可以踩？當然可以，沒踩到不算超速或龜速車！所以包含邊界，答案要選 (D) 喔！

恭喜你，一元一次不等式初級任務成功破關！下次吃便當或看身高限制時，記得用你的數學眼光去瞧瞧它們吧！